Ultima — Hull 11e Tech Note 31 / Haug 'The Complete Guide to Option Pricing Formulas' 2e / Sinclair 'Volatility Trading' 2e cap. 4 / Wilmott 'Paul Wilmott on Quantitative Finance' 2e cap. 5
Ultima = d³V/d(sigma)³ = d(vomma)/d(sigma). Tercera derivada en vol. Nicho de vol-arb extremo: pricing fino de variance swaps, wings deep-OTM, regimes IV>100%. En AR normal magnitudes negligibles; en crash o pre-eleccion puede tener impacto perceptible.
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›Idea clave
Si vomma es la convexidad del vega en sigma, ultima es la convexidad de vomma en sigma. Tercera derivada -- mismo orden que speed pero en vol. Solo importa cuando la vol misma se mueve mucho (vol-of-vol alta) y queres precio fino al tercer orden.
›Formula y derivacion
ultima = -vega/sigma² · [d1·d2·(1 - d1·d2) + d1² + d2²]. Simetrico call/put. Convencion greeks.py: per 1.00 vol point al cubo. ATM (d1 ~ d2 ~ 0): ultima casi nula. OTM moderado: signo depende de la combinacion de terminos en d1, d2.
›Perfil del greek
Magnitudes muy pequeñas en regimes normales (IV<50%). Cuando IV se acerca a 100%+ (eventos extremos, hiper-vol) el factor 1/sigma² disminuye pero los terminos en d1, d2 pueden explotar. Sinclair (2013) cap. 4: para sizing fino de variance swap edge en altas vol, ultima entra en la formula.
›Ejemplo numerico (GGAL pre-eleccion)
GGAL $5000, long strangle wings $3000 + $7500, 60 dte, IV 65% (pre-eleccion). Vomma del strangle ~2.2 per vol²-point. Ultima ~0.04 per vol³-point. Si IV salta 65 a 90 (+25 pts): incremento via vomma puro = 0.5·2.2·25² = $688 por convexidad cuadratica. Incremento via ultima (3er orden) ~ (1/6)·0.04·25³ = $104 adicional. ~15% de uplift por tercer orden en este shock.
›Variance swap pricing fino
Haug (2e) y Wilmott (2006) usan ultima para calibrar variance swap fair value cuando la vol del subyacente esta en regime alta y el swap se precea con strip de OTM options. En AR no hay var swaps liquidos pero replicarlos via strangle wings tiene curvatura de tercer orden no negligible en eventos como PASO (vol shock 30-40 pts en una semana).
›Trampas comunes
Incluir ultima en risk reports L2: es overkill y oscurece riesgos de primer y segundo orden que dominan. Reservar para vol-arb L3+. Asumir signo constante: cambia con moneyness via los terminos en d1, d2. Confundir ultima (del modelo BS) con vol-of-vol del subyacente (del mercado de vol).
Fuente estructural: Hull 11e Tech Note 31 / Haug 'The Complete Guide to Option Pricing Formulas' 2e / Sinclair 'Volatility Trading' 2e cap. 4 / Wilmott 'Paul Wilmott on Quantitative Finance' 2e cap. 5. Cuerpo y secciones escritos originalmente para este vault (disciplina fair use: cero texto verbatim del libro).