Valor del Dinero en el Tiempo
El Time Value of Money (TVM) es el bloque fundamental de todo el CFA L1. Aparece directamente en Metodos Cuantitativos y de forma transversal en Renta Fija, Renta Variable y Gestion de Cartera. Se espera que el candidato calcule PV, FV, pagos de anualidades y tasas efectivas con la calculadora BA II Plus o HP12C en condiciones de examen.
La tasa de interes y sus componentes
Una tasa de interes no es arbitraria: refleja el costo de oportunidad del capital y compensa al prestamista por tres factores distintos.
Componentes de la tasa de interes:
- Real risk-free rate: retorno real que exige un inversor por diferir consumo en un mundo sin riesgo ni inflacion. Es el componente mas puro.
- Prima por inflacion esperada: compensacion por la perdida de poder adquisitivo durante el plazo del prestamo. Un bono nominal incorpora esta prima; un bono indexado (TIPS) no.
- Prima por riesgo de default: compensacion por la probabilidad de que el deudor no pague. Un Treasury US tiene prima nula (por convencion); un bono corporativo high yield puede tener prima de 500 bps o mas.
- Prima por liquidez: compensacion por la dificultad de vender el activo rapidamente sin descuento. Instrumentos iliquidos (deuda privada, activos alternativos) pagan esta prima.
- Prima por plazo (term premium): compensacion por el mayor riesgo de precio que asume quien presta a largo plazo. La curva de rendimientos suele ser positivamente inclinada por esta razon.
Formula conceptual:
r = real risk-free rate + inflacion esperada + prima default + prima liquidez + prima plazo
Future Value y Present Value
El principio central del TVM: un dolar hoy vale mas que un dolar manana, porque hoy puede invertirse y generar retorno.
Future Value (FV) — cuanto vale hoy una suma de dinero al cabo de N periodos si se invierte a tasa r:
FV = PV x (1 + r)^N
Present Value (PV) — cuanto vale hoy una suma que se recibira en N periodos:
PV = FV / (1 + r)^N
El factor 1 / (1 + r)^N se llama factor de descuento (discount factor).
Ejemplo: invertis $10.000 al 8% anual durante 5 anos.
FV = 10.000 x (1.08)^5 = 10.000 x 1.4693 = $14.693
Si en cambio recibes $14.693 en 5 anos y la tasa de descuento es 8%:
PV = 14.693 / (1.08)^5 = $10.000
La tasa r y el numero de periodos N deben estar en las mismas unidades. Si la tasa es mensual, N debe expresarse en meses. Un error comun en el examen es mezclar periodos anuales con tasas semestrales.
Capitalizacion: EAR vs APR
Cuando los intereses se capitalizan mas de una vez por ano, la tasa efectiva anual (EAR) supera a la tasa nominal (APR).
APR (Annual Percentage Rate): tasa nominal anual, sin considerar la frecuencia de capitalizacion. Es la que suele cotizarse en prestamos y depositos.
EAR (Effective Annual Rate): tasa que realmente gana el inversor, considerando la capitalizacion compuesta.
Conversion APR a EAR:
EAR = (1 + APR/m)^m - 1
donde m = numero de capitalizaciones por ano.
Capitalizacion continua — caso limite cuando m tiende a infinito:
EAR = e^(APR) - 1
donde e = 2.71828...
Ejemplo: APR = 12% con distintas frecuencias de capitalizacion:
- Anual (m=1): EAR = (1.12)^1 - 1 = 12.00%
- Semestral (m=2): EAR = (1.06)^2 - 1 = 12.36%
- Mensual (m=12): EAR = (1.01)^12 - 1 = 12.68%
- Continua: EAR = e^0.12 - 1 = 12.75%
Annuities: ordinary vs annuity due
Una annuity es una serie de pagos iguales a intervalos regulares durante un numero fijo de periodos.
Ordinary annuity (annuity-immediate): los pagos ocurren al final de cada periodo. Es la convencion mas comun en bonos, hipotecas y prestamos.
PV (ordinary annuity) = C x [1 - (1+r)^(-N)] / r
FV (ordinary annuity) = C x [(1+r)^N - 1] / r
Annuity due: los pagos ocurren al inicio de cada periodo. Tipico en arrendamientos (leasing) y seguros de vida.
PV (annuity due) = PV (ordinary annuity) x (1 + r)
FV (annuity due) = FV (ordinary annuity) x (1 + r)
La annuity due vale mas porque cada pago se recibe un periodo antes y tiene un periodo adicional de capitalizacion.
Ejemplo: C = $1.000 por periodo, r = 6%, N = 10 periodos.
- PV ordinary: 1.000 x [1 - (1.06)^(-10)] / 0.06 = $7.360
- PV annuity due: 7.360 x 1.06 = $7.802
Perpetuidades
Una perpetuidad es una annuity que paga indefinidamente (N -> infinito). Su formula de PV se simplifica notablemente:
PV (perpetuidad) = C / r
Ejemplo: un bono perpetuo (consol) paga $80 anuales. Si r = 8%, PV = 80 / 0.08 = $1.000.
Perpetuidad creciente (growing perpetuity): los pagos crecen a tasa g por periodo:
PV = C / (r - g), con r > g
Esta formula es la base del modelo de Gordon (Dividend Discount Model) para valorar acciones con dividendos constantes.
Aplicaciones: NPV, bonos y pensiones
Net Present Value (NPV): suma de todos los flujos de caja descontados a la tasa de costo de capital menos la inversion inicial.
NPV = -CF0 + CF1/(1+r) + CF2/(1+r)^2 + ... + CFN/(1+r)^N
Un proyecto con NPV > 0 crea valor para los accionistas. El NPV positivo significa que el retorno del proyecto supera el costo de capital.
Valoracion de bonos: el precio de un bono es el PV de sus cupones (annuity) mas el PV del principal (valor unico al vencimiento).
Precio = C x [1-(1+r)^(-N)]/r + Face / (1+r)^N
Pensiones: el valor presente de las obligaciones de un plan de pensiones es el PV de todos los pagos futuros a jubilados, descontados a la tasa actuarial o de mercado.
Quiz de autoevaluacion
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Si inviertes $5.000 a una tasa del 10% anual durante 8 anos con capitalizacion semestral, cuanto tendras al final?
↳ RESPUESTA
La tasa semestral es 10%/2 = 5%. Los periodos son 8 x 2 = 16 semestres.
FV = 5.000 x (1.05)^16 = 5.000 x 2.1829 = $10.914
Nota: si usaras la tasa anual del 10% sin ajustar (FV = 5.000 x 1.10^8 = $10.718), subestimarías el resultado porque ignoras el efecto de la capitalizacion semestral.
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Un bono paga un cupon semestral de $30 durante 5 anos y devuelve $1.000 al vencimiento. La tasa de descuento semestral es 3.5%. Cual es el precio del bono?
↳ RESPUESTA
N = 10 periodos semestrales, C = $30, r = 3.5% semestral, Face = $1.000.
PV cupones = 30 x [1 - (1.035)^(-10)] / 0.035 = 30 x 8.3166 = $249.50
PV principal = 1.000 / (1.035)^10 = 1.000 / 1.4106 = $708.92
Precio = 249.50 + 708.92 = $958.42
El bono cotiza bajo la par porque la tasa de mercado (3.5% semestral = ~7.12% EAR) supera al cupon.
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Una empresa paga dividendos de $2 por accion que crecen al 4% anual en perpetuidad. Si la tasa de retorno requerida es 9%, cual es el valor de la accion (modelo de Gordon)?
↳ RESPUESTA
Usando la formula de la perpetuidad creciente:
PV = D1 / (r - g) = 2 / (0.09 - 0.04) = 2 / 0.05 = $40
D1 aqui es el proximo dividendo. Si $2 es el dividendo ya pagado (D0), entonces D1 = 2 x 1.04 = $2.08 y PV = 2.08 / 0.05 = $41.60.
En el examen, atencion a si el dividendo dado es D0 o D1.
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Un prestamo de $100.000 se amortiza en 20 anos con pagos mensuales a una tasa nominal del 9% anual. Cual es el pago mensual?
↳ RESPUESTA
Tasa mensual = 9% / 12 = 0.75%. Periodos = 20 x 12 = 240.
Usando la formula de ordinary annuity despejando C:
C = PV x r / [1 - (1+r)^(-N)]
C = 100.000 x 0.0075 / [1 - (1.0075)^(-240)]
(1.0075)^(-240) = 1 / (1.0075)^240 = 1 / 6.0092 = 0.1664
C = 750 / (1 - 0.1664) = 750 / 0.8336 = $899.73 por mes
Material educativo para CFA Level I. No afiliado al CFA Institute. Los ejemplos numericos son ilustrativos y no constituyen asesoramiento de inversion.