Teoria Moderna de Carteras: diversificacion, frontera eficiente y CML
Gestion de Cartera representa el 8-12% del CFA Level I. Markowitz y la CML son la base teorica de todo el curriculo de portafolios. El examen testa con alta frecuencia: el calculo de varianza de cartera con dos activos, la distincion entre riesgo sistematico e idiosincratico, la ecuacion de la CML y el teorema de separacion. Preguntas de item set suelen presentar carteras con distintos niveles de correlacion y pedir identificar la cartera dominante o calcular el Sharpe ratio de la CML.
Riesgo y Retorno de un Activo Individual
El retorno esperado de un activo con distribucion discreta de probabilidades se calcula como:
E[R] = suma( p_i x R_i )
Donde p_i es la probabilidad del escenario i y R_i el retorno en ese escenario. La suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1.
La varianza mide la dispersion de los retornos alrededor de la media:
sigma^2 = suma( p_i x (R_i - E[R])^2 )
La desviacion estandar es la raiz cuadrada de la varianza y tiene las mismas unidades que el retorno (porcentaje), lo que la hace directamente interpretable:
sigma = sqrt(sigma^2)
El coeficiente de variacion (CV) permite comparar el riesgo de activos con distintos niveles de retorno esperado. Mide el riesgo por unidad de retorno:
CV = sigma / E[R]
Un CV menor es preferible para un inversor dado que representa menos riesgo por unidad de retorno obtenido. Es especialmente util cuando se comparan activos con retornos esperados muy distintos.
Ejemplo: Activo A tiene E[R] = 8% y sigma = 12%. Activo B tiene E[R] = 15% y sigma = 18%.
- CV_A = 12/8 = 1.50. CV_B = 18/15 = 1.20. B es mas eficiente en riesgo por unidad de retorno.
Riesgo y Retorno de una Cartera de Dos Activos
Retorno Esperado
El retorno de una cartera de dos activos es el promedio ponderado de los retornos individuales:
E[Rp] = w1 x E[R1] + w2 x E[R2]
Con la restriccion: w1 + w2 = 1 (sin apalancamiento). El retorno esperado de la cartera siempre esta entre E[R1] y E[R2].
Varianza de la Cartera
La varianza NO es el promedio ponderado de las varianzas individuales. El termino de covarianza puede reducir el riesgo total por debajo del promedio ponderado:
sigma_p^2 = w1^2 x sigma_1^2 + w2^2 x sigma_2^2 + 2 x w1 x w2 x Cov(R1, R2)
La covarianza y el coeficiente de correlacion se relacionan por:
Cov(R1, R2) = rho_12 x sigma_1 x sigma_2
Por lo tanto, la varianza puede escribirse tambien como:
sigma_p^2 = w1^2 x sigma_1^2 + w2^2 x sigma_2^2 + 2 x w1 x w2 x rho_12 x sigma_1 x sigma_2
Casos Extremos de Correlacion
- rho = +1: no hay beneficio de diversificacion. La desviacion estandar del portfolio es exactamente el promedio ponderado: sigma_p = w1 x sigma_1 + w2 x sigma_2. La frontera es una linea recta.
- rho = -1: maxima diversificacion posible. Existe una combinacion de pesos (w*) que elimina completamente el riesgo: sigma_p = 0. La formula del peso optimo es w1* = sigma_2 / (sigma_1 + sigma_2).
- rho = 0: los activos son independientes. Hay beneficio parcial de diversificacion. sigma_p < promedio ponderado de sigmas.
- -1 < rho < +1: beneficio de diversificacion proporcional a la distancia de rho respecto a +1.
Generalizacion a N Activos
Para un portafolio de N activos con pesos iguales (1/N cada uno):
sigma_p^2 = (1/N) x sigma_promedio^2 + (1 - 1/N) x Cov_promedio
Cuando N tiende a infinito:
sigma_p^2 → Cov_promedio (riesgo sistematico residual)
El riesgo idiosincratico (el termino sigma^2/N) se elimina completamente con N grande. Lo que queda es la covarianza promedio entre todos los activos, que representa el riesgo sistematico del mercado — irreducible por diversificacion.
En la practica, con 20 a 30 activos bien seleccionados y con correlaciones imperfectas, se elimina entre el 80% y 90% del riesgo diversificable. La disminucion marginal del riesgo por cada activo adicional es decreciente.
Frontera Eficiente de Markowitz
Minimum Variance Frontier
Para un universo de N activos riesgosos, el minimum variance frontier es el conjunto de todos los portafolios que tienen la menor varianza posible para cada nivel de retorno esperado dado. Se obtiene resolviendo un problema de optimizacion cuadratica.
El Global Minimum Variance Portfolio (MVP) es el punto de minima varianza absoluta en toda la frontera — el portafolio menos riesgoso posible dado el universo de activos.
Frontera Eficiente
La frontera eficiente es el segmento de la minimum variance frontier que se ubica por encima (y a la derecha) del MVP. Un portafolio es eficiente si:
- Para el mismo nivel de riesgo (sigma), tiene el maximo retorno esperado, o
- Para el mismo retorno esperado, tiene el minimo riesgo.
Un portafolio es dominado si existe otro con mayor retorno al mismo riesgo, o menor riesgo al mismo retorno. Ningun inversor racional elegira un portafolio dominado.
Efecto de agregar activos al universo: la frontera eficiente se mueve hacia el noroeste (mayor retorno, menor riesgo) porque hay mas combinaciones posibles y nuevas correlaciones que explotar.
Capital Allocation Line (CAL)
Cuando se combina un activo libre de riesgo (Rf, con sigma = 0) con cualquier cartera riesgosa P, el conjunto de portafolios factibles forma una linea recta en el espacio (sigma, E[R]):
E[Rp] = Rf + [(E[Ri] - Rf) / sigma_i] x sigma_p
La pendiente de esta recta es el Sharpe ratio de la cartera P. Cuanto mayor el Sharpe ratio de P, mayor la inclinacion de la CAL y mejor el trade-off retorno-riesgo ofrecido.
El inversor elige su ubicacion en la CAL segun su funcion de utilidad (aversion al riesgo):
- Inversores conservadores: punto cercano a Rf (poco peso en P).
- Inversores agresivos: punto lejano de Rf, incluso con apalancamiento (peso en P > 100%, prestando a Rf).
Capital Market Line (CML)
La CML es la CAL optima: la que tiene la mayor pendiente posible (maximo Sharpe ratio). Es la linea tangente a la frontera eficiente desde el punto Rf.
La cartera de tangencia entre la CML y la frontera eficiente es la cartera de mercado (M) en el modelo de equilibrio general. En mercados eficientes donde todos los inversores son racionales y tienen expectativas homogeneas, M incluye todos los activos riesgosos ponderados por su capitalizacion de mercado.
E[Rp] = Rf + [(E[Rm] - Rf) / sigma_m] x sigma_p
La pendiente de la CML = (E[Rm] - Rf) / sigma_m = Sharpe ratio del mercado.
Solo portafolios eficientemente diversificados (combinaciones de Rf y M) se ubican exactamente sobre la CML. Los activos individuales y portafolios con riesgo idiosincratico se ubican por debajo de la CML.
Teorema de Separacion de Tobin (Two-Fund Separation)
El teorema establece que la decision de inversion optima se puede dividir en dos pasos independientes y separables:
- Decision de inversion (portfolio selection): identificar la cartera riesgosa optima, que es la cartera de tangencia M. Esta decision es identica para todos los inversores racionales, independientemente de su aversion al riesgo.
- Decision de financiamiento (asset allocation): decidir que fraccion invertir en M y que fraccion en Rf, segun la tolerancia al riesgo individual.
Implicacion practica: un inversor conservador y uno agresivo difieren solo en cuanto peso dan al activo libre de riesgo, pero ambos tienen exactamente el mismo portafolio riesgoso (M). Esta es la justificacion teorica de los fondos indexados de mercado amplio.
La CML es la frontera de eficiencia para carteras completamente diversificadas. Un activo individual tiene riesgo idiosincratico no compensado y siempre se ubica por debajo de la CML, aunque puede estar por encima o debajo de la SML segun su valuacion relativa al modelo CAPM.
Quiz de autoevaluacion
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Activo 1: E[R1] = 10%, sigma_1 = 15%. Activo 2: E[R2] = 6%, sigma_2 = 8%. Correlacion rho = 0.3. Un inversor invierte w1 = 40% en el Activo 1 y w2 = 60% en el Activo 2. Calcule E[Rp] y sigma_p.
↳ RESPUESTA
Retorno esperado: E[Rp] = 0.40 x 10% + 0.60 x 6% = 4.0% + 3.6% = 7.6%
Varianza: sigma_p^2 = (0.40)^2 x (15%)^2 + (0.60)^2 x (8%)^2 + 2 x 0.40 x 0.60 x 0.30 x 15% x 8% = 0.16 x 225 + 0.36 x 64 + 2 x 0.40 x 0.60 x 0.30 x 120 = 36 + 23.04 + 17.28 = 76.32 (en unidades de porcentaje al cuadrado)
Desviacion estandar: sigma_p = sqrt(76.32) = 8.74%
Nota: si rho = +1, sigma_p = 0.40 x 15% + 0.60 x 8% = 6% + 4.8% = 10.8%. Con rho = 0.3, se obtiene 8.74% — significativamente menor por efecto de la diversificacion.
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Con los mismos activos del ejercicio anterior (sigma_1 = 15%, sigma_2 = 8%, rho = -1), calcule el peso w1 que elimina completamente el riesgo del portfolio.
↳ RESPUESTA
Con correlacion perfectamente negativa (rho = -1), existe una combinacion que produce sigma_p = 0:
w1* = sigma_2 / (sigma_1 + sigma_2) = 8% / (15% + 8%) = 8% / 23% = 0.3478
Es decir, w1 = 34.78% y w2 = 65.22%.
Verificacion: sigma_p^2 = (0.3478)^2 x (15)^2 + (0.6522)^2 x (8)^2 + 2 x 0.3478 x 0.6522 x (-1) x 15 x 8 = 27.22 + 27.22 - 54.44 = 0
Con esta combinacion, E[Rp] = 0.3478 x 10% + 0.6522 x 6% = 3.478% + 3.913% = 7.39%. Se obtiene un retorno positivo con riesgo cero (en el modelo).
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
La cartera de mercado tiene E[Rm] = 9% y sigma_m = 14%. Rf = 2%. Escriba la ecuacion de la CML y calcule el retorno esperado de una cartera bien diversificada con sigma_p = 10%.
↳ RESPUESTA
Sharpe ratio del mercado (pendiente de la CML): Sharpe = (E[Rm] - Rf) / sigma_m = (9% - 2%) / 14% = 7% / 14% = 0.50
Ecuacion de la CML: E[Rp] = Rf + Sharpe x sigma_p = 2% + 0.50 x sigma_p
Para sigma_p = 10%: E[Rp] = 2% + 0.50 x 10% = 2% + 5% = 7%
Esta cartera combina aproximadamente (10/14 = ) 71.4% en M y 28.6% en Rf. E[Rp] = 0.714 x 9% + 0.286 x 2% = 6.43% + 0.57% = 7.0% (consistente).
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Un portafolio de 2 acciones tiene sigma_1 = 20%, sigma_2 = 20%, rho = 0.5, w1 = w2 = 50%. Calcule sigma_p. ¿Que pasa con sigma_p cuando se agrega un tercer activo identico con correlacion 0.5 con los otros dos (todos los pesos = 1/3)?
↳ RESPUESTA
Portfolio de 2 activos: sigma_p^2 = (0.5)^2 x (20)^2 + (0.5)^2 x (20)^2 + 2 x 0.5 x 0.5 x 0.5 x 20 x 20 = 0.25 x 400 + 0.25 x 400 + 0.5 x 0.5 x 400 = 100 + 100 + 100 = 300 sigma_p = sqrt(300) = 17.32%
Portfolio de 3 activos (pesos iguales = 1/3, todas las correlaciones = 0.5): Usando la formula de N activos iguales: sigma_p^2 = (1/3) x 400 + (1 - 1/3) x (0.5 x 400) = 133.33 + (2/3) x 200 = 133.33 + 133.33 = 266.67 sigma_p = sqrt(266.67) = 16.33%
El beneficio marginal del tercer activo es: 17.32% - 16.33% = 0.99 puntos porcentuales. La disminucion es positiva pero decreciente — la mayor parte de la diversificacion ya esta capturada con pocos activos.
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Explique el teorema de separacion de dos fondos y su implicacion para la industria de gestion de activos. ¿Es consistente con la existencia de fondos indexados?
↳ RESPUESTA
El teorema de separacion de dos fondos (Tobin, 1958) establece que en un mundo con un activo libre de riesgo, la decision optima de todo inversor racional se descompone en:
- La eleccion del portafolio riesgoso optimo (la cartera de tangencia, que en equilibrio es la cartera de mercado M) — identica para todos los inversores.
- La asignacion entre M y Rf segun la tolerancia al riesgo individual — distinta para cada inversor.
Implicaciones:
- Todos los inversores racionales comparten el mismo portafolio riesgoso (M), que en equilibrio es el mercado ponderado por capitalizacion.
- La diferencia entre un inversor conservador y uno agresivo es solo el peso dado a Rf.
- El gestor activo de stock-picking no agrega valor en este modelo: si M ya es el portafolio optimo, desviarse de M solo introduce riesgo idiosincratico sin compensacion esperada.
Consistencia con fondos indexados: Si, el teorema justifica directamente los fondos indexados. Replicar la cartera de mercado (S&P 500, MSCI World) a costo minimo es la implementacion practica de la estrategia optima del teorema. El inversor ajusta su exposicion al riesgo combinando el fondo indexado con liquidez o apalancamiento, no eligiendo distintos stocks.
Material educativo para CFA Level I. No afiliado al CFA Institute. No constituye asesoramiento financiero ni recomendacion de inversion.