Probabilidad y Distribuciones

Fundamentos de probabilidad

La probabilidad de un evento A, P(A), es un numero entre 0 y 1 que representa la frecuencia relativa esperada del evento en repeticiones largas del experimento.

Tipos de probabilidad:

• Empirica: basada en datos historicos. Ej: la accion subio 60 de los ultimos 100 dias, P(sube) = 0.60.
• A priori: derivada de principios logicos. Ej: P(cara) = 0.5 en una moneda justa.
• Subjetiva: basada en juicio experto. Ej: un analista estima P(recesion) = 30%.

Eventos mutuamente excluyentes: dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultaneamente. P(A y B) = 0.

Eventos exhaustivos: un conjunto de eventos es exhaustivo si cubre todas las posibilidades posibles. La suma de sus probabilidades es 1.

Regla de la suma:

• Eventos mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B)
• Eventos NO mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

Regla de la multiplicacion:

• Eventos independientes: P(A y B) = P(A) x P(B)
• Eventos dependientes: P(A y B) = P(A) x P(B|A)

donde P(B|A) es la probabilidad condicional de B dado que ocurrio A.

Probabilidad total: si B1, B2, ..., Bn son eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos:

P(A) = P(A|B1) x P(B1) + P(A|B2) x P(B2) + ... + P(A|Bn) x P(Bn)

Teorema de Bayes: permite actualizar la probabilidad de una hipotesis dado un nuevo dato (evidence).

P(B|A) = P(A|B) x P(B) / P(A)

Valor esperado y varianza de una distribucion

El valor esperado E[X] de una variable aleatoria discreta X es el promedio ponderado por probabilidades:

E[X] = sum[xi x P(xi)]

La varianza de X mide la dispersion alrededor del valor esperado:

Var(X) = E[(X - E[X])^2] = sum[(xi - E[X])^2 x P(xi)]

Distribucion normal

La distribucion normal es la distribucion de probabilidad continua mas importante en finanzas. Sus propiedades:

• Completamente definida por dos parametros: media (mu) y desviacion estandar (sigma).
• Simetrica alrededor de la media: skewness = 0.
• Mesokurtica: excess kurtosis = 0.
• Media = mediana = moda.
• El soporte es (-infinito, +infinito): teoricamente permite precios negativos (por eso no es ideal para modelar precios de activos).

Regla empirica 68-95-99.7:

P(mu - sigma < X < mu + sigma) ≈ 68%
P(mu - 2sigma < X < mu + 2sigma) ≈ 95%
P(mu - 3sigma < X < mu + 3sigma) ≈ 99.7%

Distribucion normal estandarizada: transforma cualquier variable normal en N(0,1), permitiendo usar tablas z.

z = (X - mu) / sigma

donde z es el z-score: el numero de desviaciones estandar que X esta por encima (z > 0) o por debajo (z < 0) de la media.

Ejemplo: los retornos anuales de un activo siguen N(12%, 20%). Probabilidad de perder mas del 10%:

z = (-10% - 12%) / 20% = -22/20 = -1.10
P(X < -10%) = P(z < -1.10) ≈ 13.6%

Distribucion t de Student

La distribucion t de Student se usa cuando la varianza poblacional es desconocida y se estima con la varianza muestral, o cuando el tamaño de muestra es pequeno (n < 30 es una regla practica).

Caracteristicas:

• Definida por un solo parametro: grados de libertad (df) = n - 1 para una muestra de n observaciones.
• Simetrica alrededor de 0, como la normal estandar.
• Colas mas gruesas que la normal (leptokurtica): a mayor incertidumbre sobre sigma, mayor grosor de cola.
• A medida que df -> infinito, la t converge a la N(0,1).

Cuando usar t vs z:

• Varianza poblacional conocida o n >= 30: usar z (normal).
• Varianza poblacional desconocida y n < 30: usar t con df = n - 1.
• En la practica financiera, casi siempre se usa t porque sigma es estimado.

El estadistico t se calcula igual que el z pero usando s (desviacion estandar muestral) en lugar de sigma:

t = (X_barra - mu0) / (s / sqrt(n))

Distribucion lognormal

Una variable X tiene distribucion lognormal si ln(X) sigue una distribucion normal. Propiedades:

• X solo toma valores positivos: no puede ser negativa. Por eso es ideal para modelar precios de activos (una accion no puede valer menos de 0).
• Es asimetrica hacia la derecha (right-skewed): el upside es ilimitado, el downside esta acotado a 0.
• Si el precio de un activo sigue una lognormal, entonces sus retornos continuamente compuestos [ln(Pt/P0)] siguen una normal.

Conexion entre normal y lognormal:

Si Pt = P0 x e^(r)   y   r ~ N(mu, sigma^2)
entonces: Pt ~ Lognormal(P0, mu, sigma^2)

Este es el fundamento matematico del modelo Black-Scholes para valoracion de opciones.

Distribucion binomial

La distribucion binomial modela el numero de exitos en n intentos independientes, donde cada intento tiene probabilidad de exito p.

Propiedades:

• Variable discreta: X puede tomar valores 0, 1, 2, ..., n.
• Parametros: n (numero de intentos) y p (probabilidad de exito).
• Intentos independientes con probabilidad constante en cada uno.

Formulas clave:

P(X = k) = C(n,k) x p^k x (1-p)^(n-k)

E[X] = n x p
Var(X) = n x p x (1-p)
sigma(X) = sqrt(n x p x (1-p))

donde C(n,k) = n! / [k! x (n-k)!] es el coeficiente binomial.

Ejemplo: un analista predice correctamente la direccion del mercado con probabilidad p = 0.55. En 20 predicciones, cual es la probabilidad de acertar exactamente 12?

P(X=12) = C(20,12) x (0.55)^12 x (0.45)^8 ≈ 0.1623 (16.2%)

E[X] = 20 x 0.55 = 11 predicciones correctas en promedio.

Intervalos de confianza

Un intervalo de confianza del (1-alfa)% es un rango de valores que contendra el parametro poblacional verdadero en el (1-alfa)% de las muestras repetidas.

Formula general (con sigma conocida, usando z):

IC = X_barra +/- z_(alfa/2) x (sigma / sqrt(n))

Valores de z mas usados:

• IC 90%: z = 1.645
• IC 95%: z = 1.960
• IC 99%: z = 2.576

Con sigma desconocida, reemplazar z por el valor critico t con df = n-1.

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