Estadistica Descriptiva
La estadistica descriptiva aparece en Metodos Cuantitativos y es prerequisito para entender distribuciones de probabilidad, pruebas de hipotesis y construccion de carteras. El examen pone enfasis especial en cuándo usar media aritmetica vs geometrica para calcular retornos, y en la interpretacion de skewness y curtosis para evaluar riesgos de cola.
Medidas de tendencia central
Las medidas de tendencia central identifican el valor "representativo" de un conjunto de datos.
Media aritmetica: suma de los valores dividida por el numero de observaciones.
X_barra = (X1 + X2 + ... + XN) / N
Es la medida mas comun. Es sensible a valores extremos (outliers).
Media geometrica: raiz N-esima del producto de N valores. Para retornos, se calcula como:
G = [(1+R1) x (1+R2) x ... x (1+RN)]^(1/N) - 1
Siempre es menor o igual a la media aritmetica. La igualdad solo ocurre cuando todos los valores son identicos.
Media armonica: inverso de la media aritmetica de los inversos. Se usa para promediar ratios como el P/E o el precio promedio de compra bajo una estrategia de dollar-cost averaging.
H = N / (1/X1 + 1/X2 + ... + 1/XN)
Mediana: valor central cuando los datos se ordenan de menor a mayor. Con N par, es el promedio de los dos valores centrales. Es robusta ante outliers.
Moda: valor que aparece con mayor frecuencia. Una distribucion puede ser unimodal, bimodal o multimodal. En distribuciones continuas se aproxima por el intervalo mas frecuente.
Para evaluar el rendimiento historico de una inversion (cuanto crecio realmente el capital), usar siempre la media geometrica. Para estimar el retorno esperado de un unico periodo futuro (como en la construccion de carteras), usar la media aritmetica. Confundir ambas es uno de los errores mas frecuentes en el examen.
Medidas de dispersion
La dispersion cuantifica la variabilidad de los datos alrededor de su media.
Varianza poblacional (sigma^2): promedio de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media poblacional.
sigma^2 = sum[(Xi - mu)^2] / N
Varianza muestral (s^2): se usa cuando los datos son una muestra de una poblacion mas grande. El denominador es N-1 (correccion de Bessel) para obtener un estimador insesgado.
s^2 = sum[(Xi - X_barra)^2] / (N - 1)
Desviacion estandar: raiz cuadrada de la varianza. Tiene las mismas unidades que los datos originales, lo que facilita su interpretacion.
sigma = sqrt(sigma^2) (poblacional)
s = sqrt(s^2) (muestral)
Mean Absolute Deviation (MAD): promedio de las desviaciones absolutas respecto a la media. Es menos sensible a outliers que la varianza.
MAD = sum(|Xi - X_barra|) / N
Coeficiente de Variacion (CV): desviacion estandar dividida por la media. Mide la dispersion relativa, permitiendo comparar activos con distintos niveles de retorno promedio.
CV = s / X_barra
Un CV bajo indica que la variabilidad es pequeña en relacion al retorno promedio (mejor relacion riesgo/retorno relativo).
Rango: diferencia entre el valor maximo y el minimo. Medida rudimentaria que ignora toda la distribucion intermedia.
Forma de la distribucion: skewness y curtosis
Mas alla de la tendencia central y la dispersion, la forma de la distribucion es critica para evaluar riesgos de cola.
Asimetria (Skewness): mide si la distribucion tiene una cola mas larga hacia la izquierda o la derecha.
- Skewness = 0: distribucion simetrica (ej: normal).
- Skewness positivo (right-skewed): cola larga a la derecha. La media > mediana > moda. Los outliers grandes estan a la derecha. Ejemplo: distribucion de riqueza.
- Skewness negativo (left-skewed): cola larga a la izquierda. La media < mediana < moda. Los outliers grandes son negativos (grandes perdidas). Frecuente en retornos de estrategias de venta de opciones.
Curtosis (Kurtosis): mide el "grosor" de las colas y la altura del pico de la distribucion, relativo a una normal.
- Mesokurtica (kurtosis = 3, excess kurtosis = 0): forma normal.
- Leptokurtica (excess kurtosis > 0): colas mas gordas y pico mas alto que la normal. Mayor probabilidad de eventos extremos. Tipico en retornos de activos financieros reales.
- Platikurtica (excess kurtosis < 0): colas mas delgadas y distribucion mas achatada que la normal.
Excess kurtosis = kurtosis - 3. Es la forma mas usada en finanzas porque facilita la comparacion con la normal.
Percentiles, cuartiles y diagrama de caja
Un percentil Py es el valor por debajo del cual cae el y% de las observaciones.
Los cuartiles dividen la distribucion en cuartos:
- Q1 = percentil 25 (primer cuartil)
- Q2 = percentil 50 = mediana
- Q3 = percentil 75 (tercer cuartil)
Interquartile Range (IQR) = Q3 - Q1. Mide la dispersion del 50% central de los datos, siendo inmune a outliers.
El diagrama de caja (box plot) representa graficamente: minimo, Q1, mediana, Q3 y maximo. Los puntos fuera de los "bigotes" (generalmente 1.5 x IQR desde Q1 y Q3) se identifican como outliers.
Covarianza y correlacion
La covarianza mide en que direccion se mueven conjuntamente dos variables. Una covarianza positiva indica que ambas variables tienden a moverse en el mismo sentido.
Cov(X,Y) = sum[(Xi - X_barra)(Yi - Y_barra)] / (N-1)
La magnitud de la covarianza depende de las unidades, lo que dificulta la comparacion. La correlacion (rho) la estandariza:
rho(X,Y) = Cov(X,Y) / (sigma_X x sigma_Y)
La correlacion siempre esta entre -1 y +1:
- rho = +1: correlacion perfecta positiva.
- rho = 0: sin relacion lineal.
- rho = -1: correlacion perfecta negativa (diversificacion maxima).
En construccion de carteras, activos con correlacion baja o negativa reducen el riesgo total del portfolio sin sacrificar retorno esperado.
Quiz de autoevaluacion
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Un fondo tuvo retornos anuales de +50%, -50% y +50% en tres anos consecutivos. Cual fue el retorno compuesto anual (CAGR) real del fondo?
↳ RESPUESTA
No se puede usar la media aritmetica: (+50 - 50 + 50)/3 = +16.7%. Eso es incorrecto para retornos compuestos.
La media geometrica da el CAGR real:
G = [(1.50)(0.50)(1.50)]^(1/3) - 1 = [1.125]^(1/3) - 1 = 1.0400 - 1 = +4.00% anual
Verificacion: $1.000 x 1.50 x 0.50 x 1.50 = $1.125 al cabo de 3 anos. CAGR = (1.125)^(1/3) - 1 = 4.0%.
El -50% en el segundo ano destruye valor de forma desproporcionada.
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Una distribucion de retornos tiene skewness negativo. Como se ubican la media, la mediana y la moda entre si?
↳ RESPUESTA
Con skewness negativo (left-skewed), la cola larga esta hacia la izquierda (grandes perdidas ocasionales). El orden es:
Media < Mediana < Moda
Los outliers negativos "jalan" la media hacia abajo mas que a la mediana. La moda es el punto mas alto de la distribucion. Esta forma es tipica en estrategias de venta de opciones: retornos moderadamente positivos frecuentes, pero perdidas grandes ocasionales.
En el examen: si te dicen que una distribucion es left-skewed, el inversor enfrenta mas riesgo de cola negativa del que la desviacion estandar captura.
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Un activo A tiene retorno esperado 10% con desviacion estandar 15%. Un activo B tiene retorno esperado 6% con desviacion estandar 8%. Cual tiene mejor relacion riesgo/retorno relativo segun el CV?
↳ RESPUESTA
Coeficiente de Variacion = desviacion estandar / retorno esperado.
- CV(A) = 15% / 10% = 1.50
- CV(B) = 8% / 6% = 1.33
El Activo B tiene menor CV, lo que significa que asume menos riesgo por unidad de retorno esperado. Aunque el activo A tiene mayor retorno absoluto, es relativamente mas riesgoso.
El CV es util para comparar activos con distintos niveles de retorno; el Sharpe Ratio es el analogo cuando hay una tasa libre de riesgo de referencia.
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Que implica que una distribucion de retornos sea leptokurtica en terminos de gestion de riesgo?
↳ RESPUESTA
Una distribucion leptokurtica tiene excess kurtosis > 0, lo que significa colas mas gruesas que la normal y un pico central mas pronunciado.
Implicancias practicas:
- Los eventos extremos (black swans) son MAS frecuentes de lo que predice la normal. Un modelo que asuma normalidad subestimara el VaR (Value at Risk) y el Expected Shortfall.
- Los retornos diarios "tipicos" son mas comunes (pico mas alto), pero las sorpresas grandes tambien son mas comunes.
- Los activos financieros reales son empiricamente leptokurticos, especialmente en mercados emergentes y durante crisis.
En el examen: leptokurtica = fat tails = mas riesgo de cola del que mide la desviacion estandar sola.
Material educativo para CFA Level I. No afiliado al CFA Institute. Los ejemplos numericos son ilustrativos y no constituyen asesoramiento de inversion.