CAPM, Security Market Line y Modelos Multifactor
CAPM y la SML son absolutamente centrales en CFA Level I. El examen testa: calculo de retorno esperado con CAPM dado un beta, identificacion de activos sobre o bajo la SML (valuacion relativa), distincion critica entre CML y SML, calculo y comparacion de Sharpe, Treynor y Jensen Alpha, y diferencias conceptuales entre CAPM, Fama-French y APT. Estas preguntas son casi garantizadas en el examen — dominar los calculos y las interpretaciones es obligatorio.
CAPM: Derivacion y Formula
Supuestos del Modelo
El CAPM (Capital Asset Pricing Model, Sharpe 1964, Lintner 1965) descansa en seis supuestos que permiten derivar una relacion de equilibrio entre riesgo y retorno:
- Los inversores son aversos al riesgo y maximizan la utilidad esperada media-varianza en un unico periodo.
- Expectativas homogeneas: todos los inversores comparten identicas estimaciones de retornos esperados, varianzas y covarianzas. Por lo tanto, todos identifican el mismo portafolio de tangencia.
- Los inversores pueden prestar y tomar prestado ilimitadamente a la tasa libre de riesgo Rf.
- Los mercados son perfectos: sin impuestos, sin costos de transaccion, activos perfectamente divisibles y negociables.
- El horizonte de inversion es unico y uniforme para todos los inversores.
- Todos los activos riesgosos son negociables en el mercado (incluye capital humano, en teoria).
En la practica, estos supuestos no se cumplen. El CAPM es una simplificacion util pero sus predicciones empiricas son imperfectas. La Roll's Critique senala ademas que el CAPM es en principio intesteable porque el verdadero portafolio de mercado (que incluye todos los activos riesgosos del mundo, incluyendo capital humano) es inobservable.
Formula del CAPM
E[Ri] = Rf + beta_i x (E[Rm] - Rf)
Donde:
- E[Ri]: retorno esperado en equilibrio del activo i.
- Rf: tasa libre de riesgo (T-bill de corto plazo, tipicamente 3 meses).
- beta_i: sensibilidad del activo i al retorno del mercado (medida de riesgo sistematico).
- (E[Rm] - Rf): Equity Risk Premium (ERP) o Market Risk Premium (MRP). La compensacion extra por invertir en el mercado vs Rf. Historicamente 4-6% anual en EEUU sobre el largo plazo.
Beta: Calculo e Interpretacion
beta_i = Cov(Ri, Rm) / Var(Rm) = (rho_im x sigma_i) / sigma_m
La segunda formula muestra que beta depende de: (1) la correlacion del activo con el mercado, y (2) la volatilidad relativa del activo respecto al mercado. Un activo puede tener beta alto por alta correlacion, por alta volatilidad propia, o por ambos.
| Valor de Beta | Interpretacion |
|---|---|
| beta = 0 | Sin correlacion con el mercado (similar al activo libre de riesgo en terminos sistematicos) |
| 0 < beta < 1 | Menos sensible que el mercado. Tipico en utilities, consumo basico, sector salud. |
| beta = 1 | Se mueve exactamente con el mercado |
| beta > 1 | Mas sensible que el mercado. Tipico en tecnologia, financieras, ciclicos. Amplifica movimientos. |
| beta < 0 | Correlacion negativa con el mercado. Raro. Algunos instrumentos de cobertura o activos defensivos extremos. |
Beta de un portafolio: el promedio ponderado de los betas de los activos que lo componen:
beta_p = suma( w_i x beta_i )
Security Market Line (SML)
La SML es la representacion grafica del CAPM: grafica el retorno esperado de equilibrio en funcion del beta (riesgo sistematico). La ecuacion de la SML es identica a la del CAPM:
SML: E[Ri] = Rf + beta_i x (E[Rm] - Rf)
Todo activo correctamente valuado en equilibrio se ubica exactamente sobre la SML.
Valuacion Relativa con la SML: Jensen Alpha
El Jensen Alpha (o simplemente alpha) mide el exceso de retorno observado respecto al predicho por el CAPM dado el nivel de riesgo sistematico del activo:
alpha_i = R_observado - E[R_CAPM] = Ri - [Rf + beta_i x (Rm - Rf)]
- alpha > 0: el activo genero retorno superior al requerido por su beta. Ubicado sobre la SML. Esta subvaluado — los inversores lo compraran hasta que el precio suba y el retorno caiga a la SML.
- alpha < 0: el activo genero retorno inferior al requerido por su beta. Ubicado bajo la SML. Esta sobrevaluado — los inversores lo vendera hasta que el precio caiga y el retorno suba a la SML.
- alpha = 0: el activo esta en la SML. Correctamente valuado en el modelo CAPM.
Cambios en la SML
Si la tasa libre de riesgo aumenta (ejemplo: la Fed sube tasas), la SML se desplaza paralela hacia arriba — el retorno requerido para todo nivel de beta aumenta. Si el ERP aumenta, la pendiente de la SML aumenta (la linea rota alrededor del punto [beta=0, Rf]).
CML vs SML: Distincion Critica del Examen
Esta es una de las preguntas de conceptos mas frecuentes del CFA Level I:
La CML usa sigma total en el eje X y solo aplica a carteras eficientes. La SML usa beta en el eje X y aplica a cualquier activo o cartera, eficiente o no. Un activo individual tiene riesgo idiosincratico y siempre esta debajo de la CML, pero puede estar sobre la SML si esta subvaluado (alpha positivo).
Medidas de Performance Ajustadas por Riesgo
Las medidas de performance permiten comparar gestores que toman distintos niveles de riesgo. Cada medida tiene un contexto de uso especifico:
Sharpe Ratio
Sharpe = (Rp - Rf) / sigma_p
Mide el retorno exceso por unidad de riesgo total (sigma). Apropiado cuando el portafolio evaluado representa la totalidad de la inversion del cliente — el inversor soporta todo el riesgo, incluyendo el idiosincratico.
Treynor Ratio
Treynor = (Rp - Rf) / beta_p
Mide el retorno exceso por unidad de riesgo sistematico (beta). Apropiado cuando el portafolio evaluado es solo una parte de una cartera mayor y bien diversificada — el riesgo idiosincratico de este componente se cancela con los otros. Lo relevante es solo el riesgo sistematico aportado.
Jensen Alpha
alpha_p = Rp - [Rf + beta_p x (Rm - Rf)]
Diferencia entre el retorno real del portafolio y el retorno predicho por el CAPM. Alpha positivo indica valor agregado por el gestor por encima del benchmark ajustado por riesgo.
Information Ratio (IR)
IR = (Rp - R_benchmark) / Tracking Error
Donde tracking error = desviacion estandar del active return (Rp - R_benchmark). El IR mide el active return por unidad de active risk. Es la metrica preferida para evaluar gestores activos porque captura directamente la habilidad de generar retorno diferencial respecto al benchmark.
M-squared (Modigliani-Modigliani)
M^2 = Rf + Sharpe_p x sigma_m
Ajusta el portafolio del gestor al mismo nivel de volatilidad que el mercado (usando apalancamiento o desapalancamiento), permitiendo comparar directamente el retorno ajustado con E[Rm]. Si M^2 > E[Rm], el gestor supero al mercado en terminos ajustados por riesgo.
Criticas al CAPM y Modelos Alternativos
Limitaciones Empiricas del CAPM
- El verdadero portafolio de mercado incluye todos los activos riesgosos del mundo (capital humano, real estate, private equity, arte). El S&P 500 o el MSCI World son proxies muy imperfectos.
- Roll's Critique (1977): el CAPM es en principio intesteable porque el verdadero portafolio de mercado es inobservable. Cualquier test con un proxy puede rechazar el CAPM simplemente porque el proxy es ineficiente.
- Empiricamente, el beta de un solo factor no explica completamente el cross-section de retornos de acciones. Se documentaron anomalias: size premium (Banz 1981), value premium (Fama-French 1992), momentum (Jegadeesh-Titman 1993), low volatility anomaly.
Fama-French Three Factor Model (FF3F)
Fama y French (1993) identificaron dos factores adicionales que explican retornos que el CAPM no puede:
E[Ri] = Rf + beta_m x (Rm - Rf) + beta_SMB x SMB + beta_HML x HML
- SMB (Small Minus Big): retorno de acciones de baja capitalizacion menos acciones de alta capitalizacion. Capta la prima de tamano: las small caps han tenido historicamente mayor retorno ajustado por beta que las large caps.
- HML (High Minus Low): retorno de acciones con alto ratio book-to-market (value stocks) menos acciones con bajo ratio (growth stocks). Capta la prima de valor: las value stocks han superado a las growth stocks historicamente.
El FF3F explica aproximadamente el 90% de la varianza de retornos de portafolios diversificados, versus el ~70% del CAPM de un solo factor.
Carhart Four Factor Model
Agrega al FF3F el factor de momentum:
E[Ri] = Rf + beta_m x (Rm - Rf) + beta_SMB x SMB + beta_HML x HML + beta_WML x WML
- WML (Winners Minus Losers): retorno de las acciones ganadoras de los ultimos 12 meses (excluyendo el mes mas reciente) menos las perdedoras. Jegadeesh y Titman (1993) documentaron que las acciones con buen desempeno reciente tienden a continuar subiendo en el corto plazo (3-12 meses).
El Carhart es el modelo de referencia para evaluar gestores de fondos mutuos activos y hacer performance attribution.
Arbitrage Pricing Theory (APT)
El APT (Ross, 1976) es un modelo mas general que el CAPM:
E[Ri] = Rf + beta_i1 x lambda_1 + beta_i2 x lambda_2 + ... + beta_ik x lambda_k
Donde lambda_j es el risk premium del factor j y beta_ij es la sensibilidad del activo i al factor j.
El APT descansa en un supuesto mucho mas debil: no-arbitraje (no es posible construir una cartera sin riesgo con retorno por encima de Rf). No requiere identificar la cartera de mercado, ni suponer expectativas homogeneas, ni distribucion normal de retornos. Los factores pueden ser macroeconomicos (PIB, inflacion, spread de credito, precio del petroleo) o estadisticos (componentes principales de la matriz de covarianza).
Quiz de autoevaluacion
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Una accion tiene beta = 1.4, Rf = 3%, E[Rm] = 9%. Calcule el retorno esperado segun el CAPM. Si el analista estima que el retorno real sera 11.5%, ¿esta el activo sub o sobrevaluado? Calcule el Jensen Alpha implicito.
↳ RESPUESTA
Retorno esperado CAPM: E[Ri] = Rf + beta x (E[Rm] - Rf) = 3% + 1.4 x (9% - 3%) = 3% + 1.4 x 6% = 3% + 8.4% = 11.4%
Comparacion con estimacion del analista: Retorno estimado del analista: 11.5% > 11.4% del CAPM.
Jensen Alpha implicito: alpha = 11.5% - 11.4% = +0.1%
El activo esta ligeramente sobre la SML con alpha positivo de 0.1%. Esta subvaluado en el modelo CAPM — el mercado lo comprara hasta que el precio suba y el retorno caiga a 11.4%. Nota: 0.1% es un alpha muy pequeno; en la practica seria estadisticamente insignificante.
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Portafolio A: retorno 13%, sigma 18%, beta 1.1. Portafolio B: retorno 16%, sigma 25%, beta 1.5. Rf = 2%, Rm = 10%. Calcule Sharpe ratio, Treynor ratio y Jensen Alpha para ambos. ¿Cual preferiria si cada portafolio representa toda la inversion del cliente? ¿Cual preferiria si son componentes de una cartera mayor?
↳ RESPUESTA
Calculos:
Sharpe A = (13 - 2) / 18 = 11/18 = 0.611 Sharpe B = (16 - 2) / 25 = 14/25 = 0.560
Treynor A = (13 - 2) / 1.1 = 11/1.1 = 10.0 Treynor B = (16 - 2) / 1.5 = 14/1.5 = 9.33
Jensen Alpha A = 13% - [2% + 1.1 x (10% - 2%)] = 13% - [2% + 8.8%] = 13% - 10.8% = +2.2% Jensen Alpha B = 16% - [2% + 1.5 x (10% - 2%)] = 16% - [2% + 12%] = 16% - 14% = +2.0%
Si cada portafolio es toda la inversion: usar Sharpe. A (0.611) supera a B (0.560). El inversor soporta todo el riesgo incluyendo el idiosincratico.
Si son componentes de una cartera mayor: usar Treynor. A (10.0) supera a B (9.33). Solo el riesgo sistematico es relevante; el idiosincratico se cancela.
Ambas medidas favorecen A. Jensen Alpha tambien favorece A (2.2% > 2.0%). A es el portafolio superior en todos los criterios para estos datos.
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
El activo X tiene: sigma_x = 20%, rho con el mercado = 0.6, sigma_m = 15%. Rf = 2.5%, E[Rm] = 8%. Calcule beta_x y el retorno esperado segun CAPM.
↳ RESPUESTA
Beta: beta_x = (rho_xm x sigma_x) / sigma_m = (0.6 x 20%) / 15% = 12% / 15% = 0.80
Retorno esperado CAPM: E[Rx] = Rf + beta_x x (E[Rm] - Rf) = 2.5% + 0.80 x (8% - 2.5%) = 2.5% + 0.80 x 5.5% = 2.5% + 4.4% = 6.9%
Nota: el activo tiene volatilidad (sigma = 20%) mayor que el mercado (sigma_m = 15%), pero beta < 1 porque su correlacion con el mercado es solo 0.6. Gran parte de la volatilidad del activo es riesgo idiosincratico (no sistematico), por lo que el retorno requerido es menor que E[Rm].
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Un fondo activo tiene: retorno anual 14%, benchmark retorno 11%, tracking error 6%, beta 1.1, Rf = 3%, sigma = 22%. Calcule el Information Ratio. ¿Es este gestor superior al mercado segun el Jensen Alpha?
↳ RESPUESTA
Information Ratio: Active return = 14% - 11% = 3% IR = Active Return / Tracking Error = 3% / 6% = 0.50
Un IR de 0.50 es considerado bueno en la industria (por encima de 0.50 es excelente; entre 0.25 y 0.50 es aceptable).
Jensen Alpha (usando Rm como mercado con E[Rm] = 11%): E[R_CAPM] = 3% + 1.1 x (11% - 3%) = 3% + 1.1 x 8% = 3% + 8.8% = 11.8% Jensen Alpha = 14% - 11.8% = +2.2%
El gestor tiene un alpha positivo de 2.2% respecto al CAPM. Sin embargo, para concluir superioridad, este alpha debe ser estadisticamente significativo (t-stat > 2) y consistente fuera de muestra. Con una muestra de un solo ano, es imposible concluir habilidad vs suerte.
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Explique la Roll's Critique y su implicacion para la testabilidad empirica del CAPM. ¿Por que esto no invalida completamente el modelo como herramienta practica?
↳ RESPUESTA
La Roll's Critique (1977) senala que el CAPM es matematicamente una tautologia: si y solo si el portafolio de mercado M es la cartera de varianza minima global (es decir, esta sobre la frontera eficiente), entonces existe una relacion lineal exacta entre el retorno esperado de cualquier activo y su beta respecto a M. Nunca se puede testear si esto se cumple porque el verdadero M incluye todos los activos riesgosos (acciones, bonos, real estate, capital humano, arte, derivados, activos privados) — y este portfolio es inobservable.
Cualquier test empirico usa un proxy (S&P 500, MSCI World) que puede estar o no en la frontera eficiente. Si el proxy esta fuera de la frontera, la relacion lineal beta-retorno no se cumpliria aunque el CAPM sea correcto. Alternativamente, cualquier proxy que por casualidad este sobre la frontera producira la relacion lineal aunque el CAPM sea falso como teoria economica.
¿Por que el CAPM sigue siendo util? A pesar de sus limitaciones, el CAPM tiene valor practico: (1) provee una formula simple para estimar el costo del capital propio (clave en valuacion DCF); (2) sus conceptos de riesgo sistematico vs idiosincratico son fundamentales; (3) es el punto de partida de todos los modelos multifactor. En la practica, el CAPM se usa como aproximacion de primer orden sabiendo sus limitaciones, y se complementa con modelos multifactor para analisis mas riguroso.
Material educativo para CFA Level I. No afiliado al CFA Institute. No constituye asesoramiento financiero ni recomendacion de inversion.