Duracion, Convexidad y Gestion del Riesgo de Tasa de Interes
Duracion y convexidad representan el nucleo del riesgo de mercado en renta fija y aparecen en multiples item sets en CFA L1. El examen testea calculos de precio aproximado con duracion y convexidad, la distincion entre modified y effective duration para bonos callable, y el concepto de inmunizacion. Esperar al menos 4-6 preguntas directas o derivadas de este topico.
A. Macaulay Duration: definicion y derivacion
La Macaulay duration (MacD) es el promedio ponderado de los tiempos de cada flujo de caja del bono, usando como ponderadores la participacion de cada flujo descontado en el precio total:
N t × PV(CF_t) N t × [CF_t / (1+y)^t]
MacD = sum -------------- = sum ----------------------
t=1 P t=1 P
Donde t es el tiempo en anos (o periodos), CF_t es el flujo en t, y es el YTM periodico, y P es el precio del bono.
Calculo paso a paso: bono 3 anos, coupon 5% anual, YTM 6%, F = 1,000.
| Periodo | CF | PV(CF) al 6% | t × PV(CF) |
|---|---|---|---|
| 1 | 50 | 50/1.06 = 47.17 | 1 × 47.17 = 47.17 |
| 2 | 50 | 50/1.06^2 = 44.50 | 2 × 44.50 = 89.00 |
| 3 | 1050 | 1050/1.06^3 = 881.68 | 3 × 881.68 = 2645.04 |
Suma PV(CF) = 47.17 + 44.50 + 881.68 = 973.35 (precio del bono) Suma t×PV(CF) = 47.17 + 89.00 + 2645.04 = 2781.21
MacD = 2781.21 / 973.35 = 2.858 anos
Propiedades esenciales de la Macaulay duration
- Zero-coupon bond: MacD = plazo al vencimiento (todos los flujos ocurren al final, entonces el promedio ponderado = N).
- Bono con cupon: MacD < plazo al vencimiento (los cupones intermedios acercan el "centro de gravedad" de los flujos).
- A mayor coupon rate: menor MacD (el bono recupera mas capital via cupones antes del vencimiento).
- A mayor YTM: menor MacD (los flujos distantes se descuentan mas fuertemente, reduciendo su peso relativo).
- A mayor plazo: mayor MacD (los flujos estan mas lejos en el tiempo).
La Macaulay duration no es solo una medida de sensibilidad de precio: es literalmente el "punto de equilibrio" temporal del bono. Un inversor con horizonte exactamente igual a la MacD esta inmunizado ante un cambio paralelo de la curva porque el riesgo de precio y el riesgo de reinversion se cancelan perfectamente.
B. Modified Duration: sensibilidad de precio al YTM
La modified duration (ModDur) se deriva directamente de la Macaulay duration y mide el cambio porcentual del precio ante un cambio de 1% (100 bps) en el YTM:
ModDur = MacD / (1 + y/m)
Donde m = numero de pagos de cupon por ano (m=2 para cupon semestral; m=1 para anual).
Ejemplo (continuando el caso anterior): MacD = 2.858, YTM anual = 6%, pago anual (m=1):
ModDur = 2.858 / (1 + 0.06/1) = 2.858 / 1.06 = 2.696 anos
Aproximacion del cambio de precio (formula critica en el examen)
ΔP/P ≈ -ModDur × ΔYield
Donde ΔYield se expresa en decimales (no bps). Para un cambio de 50 bps = 0.005:
ΔP/P ≈ -2.696 × 0.005 = -0.01348 = -1.35%
El precio estimado nuevo = 973.35 × (1 - 0.01348) = 960.23
Importante: esta formula asume cambio pequeno en el yield. Para cambios grandes, la convexidad se vuelve significativa (ver seccion D).
Dollar Duration (DV01 / PVBP)
El DV01 (Dollar Value of a Basis Point) o PVBP (Price Value of a Basis Point) expresa la sensibilidad en terminos monetarios absolutos ante 1 basis point (0.01% = 0.0001) de cambio en el yield:
DV01 = ModDur × P × 0.0001
Ejemplo: bono con ModDur = 2.696, precio = 973.35 (por bono de USD 1,000 face value):
DV01 = 2.696 × 973.35 × 0.0001 = USD 0.2625 por bono
Si la posicion es USD 10,000,000 de face value (10,000 bonos):
DV01 total = 0.2625 × 10,000 = USD 2,625 por basis point
Un movimiento de 50 bps en el yield genera una P&L de ±2,625 × 50 = ±USD 131,250.
Portfolio duration: es el promedio ponderado de las duraciones individuales, ponderado por el valor de mercado de cada posicion como porcentaje del portfolio total.
Port_ModDur = Σ (w_i × ModDur_i)
C. Effective Duration: bonos con opciones embebidas
Para bonos con opciones embebidas (callable, putable, MBS), los flujos de caja no son fijos: cambian en funcion del nivel de tasas. El emisor de un callable ejercera el call si las tasas caen lo suficiente; el tenedor de un putable ejercera el put si las tasas suben. Por lo tanto, la modified duration (que asume flujos fijos) es inadecuada para estos instrumentos.
La effective duration (EffDur) se calcula numericamente con un modelo de valoracion que incorpora el cambio de flujos:
EffDur = (P_down - P_up) / (2 × P_0 × ΔYield)
Donde:
P_down= precio del bono si el yield cae ΔYieldP_up= precio del bono si el yield sube ΔYieldP_0= precio actual del bonoΔYield= shift de tasas aplicado (tipicamente 25 o 50 bps)
Ejemplo: bono callable. P_0 = 102.50, P_down (yield -50 bps) = 104.80, P_up (yield +50 bps) = 100.40.
EffDur = (104.80 - 100.40) / (2 × 102.50 × 0.005)
= 4.40 / 1.025
= 4.29
La effective duration de 4.29 es menor que la de un bono plain vanilla equivalente sin opcion (que podria tener ModDur de 5.5) porque la opcion de call limita el upside de precio cuando las tasas caen.
D. Convexidad: la correccion no-lineal
La relacion precio-yield es curvilinea (convexa), no lineal. La modified duration es solo la tangente a esa curva en un punto. Para movimientos grandes en el yield, la diferencia entre la linea tangente y la curva real es significativa. La convexidad captura esa diferencia:
ΔP/P ≈ -ModDur × ΔYield + 0.5 × Convexity × ΔYield^2
El termino de convexidad es siempre positivo para bonos plain vanilla (el termino cuadratico es siempre > 0), lo que significa que la convexidad siempre mejora el retorno:
- Cuando el yield sube: el precio cae menos de lo que predice la duracion sola.
- Cuando el yield baja: el precio sube mas de lo que predice la duracion sola.
Ejemplo numerico con convexidad: Bono con ModDur = 6.0, Convexity = 50, yield sube 100 bps (ΔYield = 0.01):
Solo duracion: ΔP/P = -6.0 × 0.01 = -6.00% Con convexidad: ΔP/P = -6.0 × 0.01 + 0.5 × 50 × (0.01)^2 = -6.00% + 0.25% = -5.75%
La convexidad "salva" 25 bps de precio. Para un bono de USD 1,000,000 de valor de mercado, esto representa USD 2,500 adicionales.
Convexidad negativa en callable bonds
Un callable bond exhibe convexidad negativa (price compression) en el rango de yields bajos:
- Cuando el yield cae, el precio de un bono plain vanilla sube sin limite.
- Para un callable, cuando el precio se acerca al call price, el mercado descuenta que el emisor ejercera el call. El precio "se aplana" y deja de subir con la misma pendiente.
- Matematicamente, la curva precio-yield del callable se vuelve concava (convexa hacia abajo) en ese rango.
E. Key Rate Durations y riesgo de curva no-paralelo
La duracion total (modified o effective) asume que toda la curva de rendimiento se desplaza en parallel (todos los plazos suben o bajan la misma cantidad). En la realidad:
- La curva puede empinarse (long-end sube mas que short-end, o short-end cae mas).
- La curva puede aplanarse (long-end cae mas o short-end sube mas).
- Puede haber un twist (short-end y long-end se mueven en sentidos opuestos).
- Puede cambiar la curvatura (el tramo medio se mueve diferente a los extremos).
Las key rate durations (partial durations) miden la sensibilidad del precio a un cambio en un punto especifico de la curva, manteniendo todos los demas puntos constantes:
KRD(k) = -ΔP / (P × Δs_k)
Donde Δs_k es el cambio en la spot rate del plazo k.
La suma de todas las key rate durations debe igualar la duracion efectiva total del bono o portfolio:
ModDur total = Σ KRD(k)
Aplicacion en gestion de portfolio:
- Si el KRD a 10 anos es 4.2 y el KRD a 2 anos es 0.3, el portfolio tiene riesgo concentrado en el tramo largo.
- Un trader que espera que la curva se invierta (corto plazo sube, largo plazo baja) puede construir un portfolio con alta KRD en largo plazo y baja KRD en corto plazo.
- Los swaps de tasas permiten modificar las KRDs sin cambiar las posiciones en bonos fisicos.
F. Riesgo de precio vs riesgo de reinversion: el trade-off de inmunizacion
El inversor en bonos enfrenta dos riesgos que se mueven en sentidos opuestos ante un cambio en las tasas:
| Tipo de riesgo | Cuando las tasas suben | Cuando las tasas bajan | Sensibilidad |
|---|---|---|---|
| Riesgo de precio | El precio del bono CAE (perdida de capital si se vende antes del vencimiento) | El precio SUBE | Mayor en bonos de mayor duracion |
| Riesgo de reinversion | Los cupones se reinvierten a tasas MAYORES (beneficioso) | Los cupones se reinvierten a tasas MENORES (perjudicial) | Mayor en bonos de cupones altos y largo plazo |
La inmunizacion es la estrategia que los cancela:
- Si el horizonte de inversion del inversor es exactamente igual a la Macaulay duration del bono (o portfolio), los dos riesgos se cancelan matematicamente.
- Una subida de tasas: perdida de precio compensada exactamente por mayor reinversion de cupones.
- Una bajada de tasas: menor reinversion compensada exactamente por mayor precio al vender.
Condicion de inmunizacion: Macaulay Duration del portfolio = Horizonte de inversion
Quiz de autoevaluacion
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Calcule la modified duration de un bono con MacD = 4.20 anos, YTM anual = 8%, con pagos de cupon semestrales.
↳ RESPUESTA
ModDur = MacD / (1 + y/m) = 4.20 / (1 + 0.08/2) = 4.20 / 1.04 = 4.038 anos
Interpretacion: si el YTM sube 1% (100 bps), el precio del bono cae aproximadamente 4.04%. Si el YTM sube solo 50 bps:
ΔP/P ≈ -4.038 × 0.005 = -2.019%
Nota: la modified duration (4.038) es siempre menor que la Macaulay duration (4.20) para bonos con cupon positivo porque el denominador (1 + y/m) es siempre mayor que 1.
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Un bono tiene ModDur = 7.5, precio de mercado USD 980 (por bono de USD 1,000 face value) y la posicion total es USD 5,000,000 de valor de mercado. ¿Cual es el DV01 de la posicion completa? Si los yields suben 35 bps, ¿cual es la perdida estimada?
↳ RESPUESTA
DV01 por bono: 7.5 × 980 × 0.0001 = USD 0.735 por bono
Para una posicion de USD 5,000,000 de valor de mercado (5,000,000 / 980 × 1,000 = 5,102 bonos aproximadamente):
DV01 total = 7.5 × 5,000,000 × 0.0001 = USD 3,750 por basis point
Perdida ante subida de 35 bps = 3,750 × 35 = USD 131,250
Esta es la estimacion lineal. La convexidad positiva del bono plain vanilla implicaria que la perdida real sera ligeramente menor que USD 131,250.
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Un bono tiene ModDur = 5.0 y Convexity = 35. El YTM sube 150 bps. Calcule el cambio porcentual de precio (a) solo con duracion y (b) con duracion y convexidad. ¿Cuantos bps adicionales 'salva' la convexidad?
↳ RESPUESTA
ΔYield = 0.015 (150 bps)
(a) Solo duracion:
ΔP/P = -5.0 × 0.015 = -7.500%
(b) Duracion + convexidad:
ΔP/P = -5.0 × 0.015 + 0.5 × 35 × (0.015)^2
= -7.500% + 0.5 × 35 × 0.000225
= -7.500% + 0.003938
= -7.500% + 0.394%
= -7.106%
La convexidad "salva" 0.394% de precio (39.4 bps). Para un bono de USD 1,000 face value con precio inicial de USD 980, esto equivale a USD 3.86 de valor adicional preservado. Para un portfolio de USD 10,000,000, representa USD 39,400 que la aproximacion lineal ignoraria.
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
¿Por que es inadecuado usar la modified duration para valorar un bono callable? ¿Que medida se debe usar y como se calcula?
↳ RESPUESTA
La modified duration asume que los flujos de caja del bono son fijos e independientes del nivel de tasas. Para un bono callable, esto es falso: si las tasas caen por debajo del coupon rate, el emisor tiene incentivo para ejercer el call y refinanciar a menor costo. En ese escenario, el tenedor recibe de vuelta el capital al call price (no al YTM proyectado), y la duracion efectiva del bono "colapsa" — el bono se comporta como si tuviera un plazo mucho menor.
Se debe usar la effective duration:
EffDur = (P_down - P_up) / (2 × P_0 × ΔYield)
Esta formula usa precios calculados con un modelo que incorpora el cambio de flujos (ejercicio del call) ante cada escenario de tasa, capturando el comportamiento real del callable.
PREGUNTA DE COMPRENSIÓN
Un fondo de pension tiene pasivos con Macaulay duration de 12 anos y horizonte de inversion de 12 anos. El manager construyo un portfolio de bonos con plazo promedio de 12 anos pero Macaulay duration de 9.5 anos. ¿Esta inmunizado el portfolio?
↳ RESPUESTA
No, el portfolio NO esta inmunizado. La condicion de inmunizacion exige que la Macaulay duration del portfolio sea igual al horizonte de inversion (12 anos), no que el plazo promedio sea igual. El manager cometio el error clasico de "maturity matching" en lugar de "duration matching".
Con MacD = 9.5 anos y horizonte = 12 anos, el portfolio tiene un gap de duracion de -2.5 anos. El riesgo de reinversion domina: cuando vencen los bonos a los ~12 anos de plazo, hay 2.5 anos adicionales de cupones que deben reinvertirse a tasas desconocidas. Si las tasas caen, el fondo no podra cumplir sus pasivos.
Correccion: el manager debe extender la duracion del portfolio (comprar bonos de mayor duracion, reducir bonos de cupones altos) hasta alcanzar MacD = 12 anos.
Material educativo para CFA Level I. No afiliado al CFA Institute. No constituye asesoramiento financiero ni recomendacion de inversion.